馮睎乾：六合彩永遠令人滿懷希望

香港最近一期的六合彩——49顆彩珠每期攪出6個號碼，加一個特別號碼——竟然有5個攪出的號碼跟前一次完全相同，令人嘖嘖稱奇。有人計算過，若要6個號碼與上期號碼有5個一樣，機率大約是0.001845%，如果每星期攪珠兩次，相等於「521年一遇」。這機率雖然小，但在人類博彩史上只是小菜一碟而已，要數最經典的例子，始終還是2009年9月保加利亞的兩期六合彩。

保加利亞跟香港一樣，也是49個號碼選6個。2009年9月6日，保加利亞六合彩的中獎號碼為4、15、23、24、35、42，看起來平平無奇，但真正令人驚訝的是四天之後，下一期的中獎號碼也是4、15、23、24、35、42！要兩期6個號碼完全相同，機率只有13,983,816分之1，每星期開彩兩次的話，等於大約「13萬4,460年一遇」，比香港日前的巧合誇張得多。

可以想像當年保加利亞人看見這個奇景，是如何群情洶湧，時任體育部長更下令調查有否舞弊。答案當然是沒有。根據大數定律，只要有足夠多的機會，不管多罕見的事件也可能發生。要解釋這現象，最簡單是從著名的「生日問題」說起：一個派對內至少需要多少人，才能使「其中兩人生日相同」的機率超過50%？

一年365日，要在一個派對內遇上同月同日生的人，機會似乎很渺茫，恐怕至少要有過百人才會發生這種事吧？但數學告訴你：房間內只要有23個人，出現「其中兩人生日相同」的機率便會過半。為什麼呢？因為隨着房間人數添多，配對量會指數級上升，出現兩個相同生日的機率會迅速增加。

假設只有兩人，僅可配成一對日期，生日相同機率自然只是365分之一（約 0.3%）。若有3人在房，則可組成3對日期（1-2、1-3 和 2-3）；有4人，則有6對日期（1-2、1-3、1-4、2-3、2-4 和 3-4）；5人則有10對⋯⋯有n人的話，就有n(n-1)/2對日期。成對的指數增長，表示隨着人數增多，找到至少一對匹配的機會就會急升。

以此類推，如果一間房有23人，就有253對生日可供比較了；通過一些機率運算，就知道在這253組配對中，當中兩個日子相同的機率已超過50%。若你明白這個「生日問題」的竅妙，就未必覺得六合彩號碼重複出現是很不可思議的事了。因為只要攪珠1,000次，就可組合成499,500次配對，而隨着攪珠次數增多，當中任意兩次中獎號碼相同的機率將越來越高。

有數學家當年嘗試解釋「保加利亞六合彩號碼重複攪出」現象，就利用「生日問題」的計算法，算出只需攪珠4,404次，就有超過50%機會攪出兩次相同的六個號碼了。換言之，若每星期攪珠兩次，那麼不需要43年，「攪出兩次相同號碼」的機會就會高於「沒有一次相同」。

香港六合彩由1976年開始（當初是36個號碼攪出6個），至今有48年歷史，即使有兩次的六個號碼全同，也合乎大數定律預測。當然，連續兩次出現幾乎一樣的號碼，跟相隔n年才重複同一組數字，予人的震撼和觀感是大大不同的。好比2002年9月11日，紐約州彩券開獎號碼恰巧是911，我們固然可用數學角度淡淡地解釋，但說到底，你仍可能覺得世事很「玄」。

撇開數學不談，「500年一遇」的事越來越多，也許正是時代趨勢：從前你以為沒可能發生的事，今後或將逐一發生。從這個角度轉念一想，既然什麼都有可能，我們就沒有絕望的理由了。

本文獲作者授權轉載自「馮睎乾十三維度」Patreon

（編者按：本文僅代表專欄作者個人意見，不反映本報立場。）@